Причиной такого сильного кашля может являться отделяемое носа (в просторечье - сопли) Стекая по задней стенке глотки, они могут попадать в трахею, в результате чего и развивается кашель. Интенсивность которого порой очень сильная и может доводить до рвоты.
Если нет температуры и в легких чисто (должен слушать врач), можно порекомендовать промывание носовой полости физ раствором с отсасыванием "соплей" - санация носовой полости. Есть и другие препараты для промывания. Есть удобные формы выпуска препаратов - в виде спреев. Стоит помнить что ребенку неприятно, но это не должно вас останавливать. У ребенка в основном носовое дыхание, поэтому чистый нос - профилактика более серьезных заболеваний - ангин и пневмоний.